3 févr. 2011

Et maintenant un peu de physique...

Ne vous êtes-vous jamais demandé : A combien de kilos ai-je tendu ma longline ?
Nous tout le temps. Alors un soir de pluie, avec mon ami Christophe, nous avons (ou plutôt il a) posé le problème à plat, forts de nos BAC+trop d'années inutiles à user les bancs d'écoles.

Résultat, une thèse très simple avec des approximations qui devrait nous permettre en connaissant quelques données d'en déduire la tension qui fait peur : LA TENSION dans MA longline...

Petit schéma :


Soient :
- L : longueur de la longline
- f : la flèche au milieu
- P : le poids du slackliner se tenant au milieu de la sangle et provoquant la flèche sus-mentionnée.
- T : la composante horizontale de la Tension de la longline qui permet au slackliner de ne pas toucher au sol.

Et bien en vertu d'un Théorème bien connu "Thalés" pour ceux qui se souviennent, on obtient la relation hyper simple : (P/2)/T = f /(L/2)

D'où l'on peut en déduire que : T = LP/(4f)
Voici déjà une bonne approximation de la tension dans la longline avec cette force T
Car non ce n'est pas la tension dans la longline exactement mais la composante horizontale de la tension de la longline. 


Ajoutons :

- a : l'angle formé par l'horizontale et la longline au niveau de l'ancrage.

Si l'on veut obtenir la tension réelle dans l'axe de la longline (celle que le dynamomètre mesure), la relation se complexifie un peu : Treelle = T/cos(a)

Et l'on connait cos(a) par la relation dans un triangle rectangle cos(a) = côte adjacent/hypoténuse
Avec côté adjacent = L/2 et hypoténuse = sqrt(f x f + L x L /4)

Mais avant de sombrer dans la dépression mathématique, regardons ce que vaut un angle a dans l'exemple d'une longline de 100m avec 2m de fléche pour une personne pesant 80kg : 2,29°.
Que vaut le cos(2,29°) = 0,999. Autant dire 1.

Donc ouf ! La tension Treelle est réellement très proche de T.

Conclusion : Si vous arrivez à tendre une longline d'une longueur connue telle qu'une personne d'un poids connu crée une flèche connue en son milieu sans toucher par terre, alors vous savez que la tension générée aux ancrages vaut approximativement : T = LP/(4f)

Remarques intéressantes :
- la force de tension est indépendante du type de sangle. Que vous ayez une sangle basique, ou la dernière sangle en vectran, pour la longueur, la flèche et le poids de la personne qui fait le test, la force restera la même. Cependant, avec une sangle élastique, vous n'arriverez tout simplement pas à tendre la slackline assez avant sa rupture. Notez qu'on néglige ici le poids propre de la sangle dans ce modèle.

- L'élasticité n'intervient pas dans ce modèle statique. L'élasticité intervient cependant dans toute la phase de tension (ce qui fait qu'on arrive ou non à tendre la longline pour ne plus toucher au milieu). Les sangles les plus fortes (Vectran données pour 8T à la rupture) cassent aussi parfois vers 2T. La théorie mise en oeuvre lors de la tension d'une longline est beaucoup plus complexe à mon avis.

(ERRATUM CORRECTION) 
- La différence de tension entre la tension à vide de la slackline, et la tension avec quelqu'un dessus fait intervenir l'élasticité de la sangle. 
En effet, si on prend le cas extrème d'une sangle sans poids propre, totalement inélastique, alors il n'y a pas besoin de la tendre, il suffit juste de la placer pour que le slackeur ne touche pas le sol, et la tension sera appliquée dès que le slacklineur marchera dessus. A fortiori donc, une sangle très statique aura une tension à vide plus faible qu'une sangle plus élastique, ce qui se vérifie en pratique lorsque vous comparez la tension à vide à mettre dans une Moonwalk (4,4% à 15kN et 33,4g/m) par rapport à une Dark Blue (5,5% à 15kN et 66g/m) pour une même flèche.

Conclusion :

Plus vous mettrez vos ancrages haut, moins vous aurez à tendre.
Si vous gardez en tête cette formule T = LP/4f, avec des approximations, vous pourrez vous dire si vous avez ou non de la marge sur votre système.
Une slackline de 100m avec 2m de flèche pour une personne de 80kg nécessite une tension d'1T. La même slackline avec 1m de flèche nécessitera 2T.


Si vous avez des doutes sur ce calcul, n'hésitez pas à nous écrire et à nous démontrer qu'il est faux. 

Un grand merci à Christophe pour les souvenirs de mécanique !

A vos calculettes pour les abaques.

14 commentaires:

Sam et Bertrand (de la Run') a dit…

Salut Julien,

Merci pour ce très intéressant article !

On a regardé ça avec attention avec un ami un peu matheux... 2 remarques :
- la première équation de Thalès semble mal écrite, mais on suppose qu'il s'agit d'une faute de frappe car la réduction qui suit est correcte. Pour Thalès, cela serait plutôt : (P/2)/f = T/(L/2)

- et nous avons du mal à comprendre la notion poids du slacker (Pslack). Purrais-tu développer un peu ? Le slacker pèse 80 kg... mais que sont les 1.6 kg que tu calcules ?

Merci !

Julien MILLOT a dit…

Youpi, des gens qui ont réussi à tout lire !! Cool

- La relation de Thalés est bien écrite, et elle est identique à la tienne.

- Le poids du slackeur est "pris" pour moitié par chaque côté de la slack (car le slackeur est au milieu, sinon ce serait différent). Donc sur chaque brin de la slack, on a P/2. Si on projète cette force sur l'axe de la slack, le sinus de l'angle "a" (très faible) intervient pour cette projection. Donc cela explique que le poids est faible dans l'axe de la slack.

Lorphie a dit…

Hello,

merci a Jelena pour le lien du blog. Formules interessantes effectivement qui comblent en partie ma curiosite. Un commentaire sur: "Plus vous mettrez vos ancrages haut, moins vous aurez à tendre."

2 pbs: c'est que moins tendue, elle sera moins facile a "slacker" car moins rigide. Et de deux: on accentue la pente des deux cotes du point de fleche maxi, ajoutant a la difficulte de l'exercice...

soupse a dit…

@Lorphie:
les deux problèmes en fait n'en sont pas vraiments...le slackline - comme son nom anglais l'indique - c'est de la sangle molle.
le but n'est pas de marcher sur un câble mais d'apprivoiser son équilibre sur du mou.
Quand à la pente, pour en avoir marcher de nombreuses, celle-ci ne gêne en rien.

bref, c'est une question de perception.

Nene a dit…

Bonjour,

En avant propos, je ne suis pas slackliner... je suis arrivé ici en faisant des recherches sur des ancrages...

Ma question porte sur les contraintes que subissent les ancrages.

On sait que la force F s'exerçant sur les ancrages en fonction de leur angle a et la force P exercée est de la forme :
F = P / 2 cos (a/2)... c'est aussi pourquoi on explique qu'un angle supérieur à 120° induit plus de force sur chaque ancrage que la charge initiale... Dans le cas d'une slackline, mettons que cet angle est de l'ordre de 170°... Chaque ancrage subi(rai)t + de 5 fois la masse du slacker... à la réserve près que la force soit intégralement transmise (pas d'élasticité, d'absorbption par la slackline). Dans le cadre notamment dans le cas d'une highline avec chute, le choc subit par les ancrages (toujours en supprimant les phénomènes d'absorption, de frottement, etc..) est donc celui de la force d'une chute facteur 2 (la hauteur de la longe du slacker à la slackline x 2 / cette hauteur) x les coefficients précités donc plus de 5 dans le cadre d'un angle de 170°... Si en plus, vous avez appliqué une tension T à la slackline, vous avez induit à la fois une contrainte supplémentaire sur les ancrages + favorisé (ouverture de l'angle) l'accroissement du facteur multiplicateur + de la propagation (moins d'absorption de la force par la slackline par sa tension)...

Mes hypothèses sont elles justes "mathématiquement" ou ai-je loupé un truc ??
Comment contournez vous le pb en oratique... puisque vos ancrages semblent tenir ?

Merci d'avance pour vos éclairages

Julien MILLOT a dit…

Salut ami non slackliner,
Alors comme tu le dis très bien, nos ancrages supportent en effet plus de 5 fois le poids du slackliner.
Dans tout cet article, je met en relief le fait que c'est le poids du slackliner et la fleche cree par lui meme qui induit la tension aux ancrages.
La tension T dont tu parles est celle induite par le slacker.
Mon calcul est un calcul de mécanique statique (relis bien les hypotheses : slackeur qui se tient au milieu, devrais-je rajouter immobile) dans le cas d'une chute, tu peux considérer au moment ou le slackeur est au plus bas que tu te trouves dans le meme cas, avec un slackeur qui pese beaucoup plus lourd (du fait de l'energie ammasée dans sa chute) et tu peux faire le meme calcul. Alors si la fleche n'augmente pas lors de la chute, la tension va fortement augmenter, et si la fleche augmente la tension restera raisonnable (et la intervient le coefficient d'elasticité)
Voila j'espere que tu comprends un peu mieux. sinon contacte nous sur info@slack.fr
Julien

Anonyme a dit…

Merci de ta réponse... je ne vais pas ergoter sur tension et force (pas la même dimension).. celle dont je parlais était celle que vous donnez "initialement" avant de monter sur la slackline par moufflage ou autre dispositif de mise en tension...
m'enfin, j'ai passé trop de temps moi aussi à user les bancs de la fac après le bac... j'ferais mieux de laisser l'ordi et de m'y essayer ;)
Encore merci pour ta réponse... je mets de côté l'adresse mail au besoin ;)

Julien MILLOT a dit…

Une erreur s'était glissée dans mon raisonnement sur une tentative de comprendre pourquoi on ne voit pas beaucoup le poids du slackliner sur les longlines. Notion manifestement fausse, plusieurs personnes avaient soulignée un problème et un flou dans cette partie de l'article. Après re-réflexion, et après être sorti de ma léthargie à changer cet article je l'ai donc corrigé. "Errare Humanum Est"

Franck Gressier a dit…

Bonjour,
En fait, ce qu'il faut retenir des formules, c'est que c'est la variation d'angle qui va permettre de soutenir plus ou moins de poids.
Entre un gars de 60 kg et un gars de 80 kg, la tension dans la slack sera assez voisine mais l'angle sera plus fort et la tension s'exercera dans un sens plus favorable.

Pour ce qui est de la tension lors d'une chute en highline, je me suis livré à un petit calcul.

Hypothèse:
lignes tendue sur 100m.
flèche de 1m avec le gars dessus. Encordement au nombril 1m au dessus des pieds et donc à la hauteur des ancrages.
Longe de 1m reprise sur la sangle.

Comme 4fT=LP, P=(4T/L)f. On a donc une relation assez linéaire du style ressort F=kX pour ceux qui s'en souviennent (en supposant T constant).
Donc k=P pour 1m de flèche

Bref, le gars chute. La slack remonte à la hauteur de son nombril. Au bout de 1m de chute, la longe se tend et le type descend encore d'une hauteur h où la slack vient l'amortir.

Petit bilan des énergies:
Comme les balises html d'exposant ne sont pas supportée, je note la mise au carré: "^2"

Au départ, il a donc une énergie potentiel de gravité qui se trouve amputée au final de P(1+h). Sa vitesse est nulle (pas d'énergie cinétique).

Au point bas (vitesse nulle), l'énergie potentiel de gravité est convertie en énergie élastique de type 1/2kX^2. Ici la slack est descendue de la longueur h uniquement. L'énergie élastique est donc 1/2Ph^2 pour ceux qui ont suivi.

Bref, P(1+h)= 1/2Ph^2 et l'on peut simplifier par P.
A noter quand même que T=LP/4f donne une tension initiale de 2 tonnes pour 80kg...

on arrive à une équation du second degré:
h^2-2h-2=0
Je vous passe la résolution, cela donne h=2,73m (1+racine de 3).

Au départ la longueur de slack pour produire la force avec 1m de flèche était de racine(50^2+1^2).
Au final: racine(50^2+2,73^2) soit un allongement de 6,45 cm.

Si la slack s'allonge de 3% sous 1500kg. Alors elle s'allonge de 1,5m pour 50 m sous 1500kg soit un allongement de 1cm pour 10kg de traction.

La tension max de la sangle serait donc seulement de sa tension initiale + 65 kg. L'hypothèse de T = cte semble bien vérifiée.

Un ingénieur en mécanique...

Gregory Bertrand a dit…

Bonjour,
Et merci pour ces explications détaillées...j'ai néanmoins une question irrésolue, et peut-être pourrez-vous me donner une explication : pourquoi l'élasticité de la slack (=qualité de la sangle elle-même) n'est-elle pas prise en compte dans vos calculs ? J'aurai intuitivement pensé que celle-ci pouvait influer sur son comportement, à longueur et poids du "slacker" égale..;

Si c'est le cas, pouvez-vous m'indiquer s'il faut privilégier une slack peu élastique pour réduire la tension ?

Merci d'avance, et bravo pour votre curiosité.

grégory

Slack.fr a dit…

Salut Gregory,
L'élasticité n'est pas utile pour déterminer la tension créée par le slackliner sur une fleche et une distance données.
par contre elle sera primordiale pour savoir si ta sangle pourra atteindre l'état pris en hypothèse (on part du principe qu'on arrive a tendre le sangle et qu'elle ne casse pas avant)
Ici on ne parle pas de comportement de la sangle, on parle juste de sa tension. Il va sans dire que le comportement d'une sangle lourde, est très différent de celui d'une légère. Mais un point commun important est que leur tension est la même (aux approximations faites -poids de sangle relativement négligeable,etc...-). (ce qu'on essaie de montrer)

une sangle peu élastique ne réduit pas la tension, elle facilite juste la mise en oeuvre. En d'autres termes, on tend à la meme tension, mais plus rapidement.

Olivier a dit…

Première précision sur l'elasticité de la sangle, elle n'est pas linéaire, et si on prend les données de la neon light de slackpro, l'elasticité augmente de manière parabolique avec la tension. Cependant, mes notions de resistance des matériaux me font penser que les sangles ont toutes des courbes d'elasticités relativement proportionnelles.
Pour ce qui est de la différence de tension à vide et en charge, cette différence est liée à la différence de longueur entre l'hypothénuse (L2) et la longueur initiale de la sangle tendue et non chargée (L). Prenons deux sangles imaginaires qui auraient un coefficient d'elasticité linéaire : 5% @ 600kg pour la plus rigide et 13%@600kg pour la plus elastique.
Si on prend une trickline de 20m, un slacker de 60kg qui cause une fleche de 1,5m
Selon la formule T=LP/(4f) la tension occasionnée par le slacker est de 200kg
La longueur L2=racine(F²+(L/2)²)=racine(102,25)~10,11m soit 1,1% d'elongation
Pour la 5% ces 1,1% correspondent à 132kg de tension supplémentaires
Pour la 13% ces 1,1% correspondent à 50kg supplémentaires.
Dans ce cas on déduit que le slacker avec sa sangle plus rigide a tendu à 68kg de tension de base, tandis que lorsqu'il installe la 13% il a tendu à 150kg de base. Ce qui corroborre le fait qu'il est beaucoup plus difficile de tendre une tubulaire qu'une sangle plate, où c'est le poids du slacker qui va créer le plus de tension dans la sangle.
PS : L'elasticité diminuant avec la tension, en réalité la différence d'elasticité entre ces deux sangles à faible tension est certainement un peu moins importante.
PS2 : plus le ratio longueur L/fleche augmente, plus l'élongation diminue, ainsi que la différence de tension en charge/a vide. Donc l'elasticité a moins d'impact sur une longline de 100m qu'une trickline de 20m.

Anonyme a dit…

Salut,
Il y a une erreur dans ta formule car tu mélanges des longueurs et des forces.
Pour obtenir la tension T il faut la projeter sur deux axes (vertical et horizontal) puis calculer les composantes (une sera en sin et l'autre en cos) puis équilibrer les forces car la deuxième loi de Newton stipule que la somme des forces (d'un solide immobile) est égale à zéro.
Les composantes horizontales des tensions (de chaque coté du slacker) s'annulent
Les composantes verticales s'annulent avec le poids.

Bon calculs !

Yorgy

Bluefire a dit…

Je suis d'accord avec le post ci dessus, comment peux t'on mélanger forces ( la tension et le poids ) avec des longueurs? Est-ce donc faux?